ネイピア数とは
ネイピア数 \(e=2.71828182845904 \cdots \) (鮒一羽二羽一羽二羽しごく惜しい)
\(e\) は自然数の階乗の逆数を合計したものでもあります。
\[ e = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots \]
定義
ネイピア数の定義は下記2通りある。
\[ e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^ n \]
もしくは
\[ e=\lim_{h \to 0} ( 1 + h ) ^ {\frac{1}{h}} \]
重要な性質
ネイピア数「 \(e\) 」を底とする指数関数 \(y=e^x\) は重要で、\(e^x\) は微分しても積分しても \(e^x\) となり、何回微積分しても変わらない唯一の関数としても知られる。 どちらかというと、そうなるような値を求めて \(e\) としたと考えた方がいい。
「何回微積分しても変わらない」というのは、意味合い的には加法(足し算)においては \(0\) 、 乗法(掛け算)においては \(1\) で、どちらも相手を変化させないですよね。数学ではこういう値が重要なのです。
\[ \begin{eqnarray} C &=& e^{C’} \tag{1}\label{ex_log1} \\\ C’ &=& \log_{e} C \tag{2}\label{ex_log2} \end{eqnarray} \]
指数関数と対数関数の変換から、 \( \eqref{ex_log1} \) を \( \eqref{ex_log2} \) の形に変換
\[ e^{C’} \Longrightarrow e^{log_{e}C} \tag{3}\label{ex_log3} \]
\( \eqref{ex_log3} \) で \( \eqref{ex_log1} \) の \( C’ \) に \( \eqref{ex_log2} \) を代入
\[ \Longrightarrow C = e^{log_{e} C} = \exp(\log C) \tag{4}\label{ex_log4} \]
結果、 \( \eqref{ex_log4} \) のように書くことができる。
\[ \begin{eqnarray} \log_{e} x &\Longleftrightarrow& \ln x \tag{1}\label{e_ln} \\\ e^x &\Longleftrightarrow& \exp(x) \tag{2}\label{e_exp} \end{eqnarray} \]
\( \eqref{e_ln} \) 、 \( \eqref{e_exp} \) ともに左右は同じ意味になる。 プログラミング言語では、一般に \( \eqref{e_ln}\) 、 \( \eqref{e_exp} \) を
\[
\begin{eqnarray}
\log ( x ) \\\
\exp ( x )
\end{eqnarray}
\]
と表記する。
\( \ln \) はラテン語の「logarithmus naturalis」の略らしいです（自信はないです）。 私はずっと「log natural」の頭文字だと思っていました。